Сопряженное отображение

Пусть $V, W$ — векторные пространства над полем $F$ ($\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$) со скалярным произведением. Линейный оператор $f : V \to W$ и оператор $f^{*} : W \to V$ называются ***сопряжёнными***, если для всех $x \in V$ и всех $y \in W$ выполняется: $$ (f(x), y) = (x, f^{*}(y))$$

Если к линейному оператору $f$ существует сопряжённый оператор $f^*$, то он единственен.

Предположим, существуют два оператора $f_1^*$ и $f_2^*$, сопряжённых к $f$. Тогда для любых $x \in V, y \in W$: $$ (x, f_1^*(y)) = (f(x), y) \quad \text{и} \quad (x, f_2^*(y)) = (f(x), y) $$ Отсюда, $(x, f_1^*(y)) = (x, f_2^*(y))$. Поскольку это равенство выполняется для всех $x \in V$, из ослабленного закона сокращения следует, что $f_1^*(y) = f_2^*(y)$ для всех $y \in W$, то есть $f_1^* = f_2^*$. $\square$

Если у линейного оператора $f$ существует сопряжённый оператор $f^*$, то $f^*$ также является линейным отображением.

Нужно доказать аддитивность и однородность $f^*$. **Аддитивность.** Покажем, что $f^*(y_1+y_2) = f^*(y_1)+f^*(y_2)$ для любых $y_1, y_2 \in W$. Рассмотрим скалярное произведение $(x, f^*(y_1+y_2) - f^*(y_1) - f^*(y_2))$ для произвольного $x \in V$. $$ (x, f^*(y_1+y_2) - f^*(y_1) - f^*(y_2)) = (x, f^*(y_1+y_2)) - (x, f^*(y_1)) - (x, f^*(y_2)) $$ По определению сопряжённого оператора $f^{*}$ и линейности скалярного произведения по второму аргументу: $$ (x, f^*(y_1+y_2)) = (f(x), y_1+y_2) = (f(x), y_1) + (f(x), y_2) $$ Также по определению $f^*$: $$ (f(x), y_1) = (x, f^*(y_1)) \quad \text{и} \quad (f(x), y_2) = (x, f^*(y_2)) $$ Тогда $(x, f^*(y_1+y_2)) = (x, f^*(y_1)) + (x, f^*(y_2))$. Подставляя это в исходное выражение: $$ (x, f^*(y_1+y_2) - f^*(y_1) - f^*(y_2)) = ((x, f^*(y_1)) + (x, f^*(y_2))) - (x, f^*(y_1)) - (x, f^*(y_2)) = 0 $$ Поскольку это верно для любого $x \in V$, то $f^*(y_1+y_2) - f^*(y_1) - f^*(y_2) = 0$. Следовательно, $f^*(y_1+y_2) = f^*(y_1)+f^*(y_2)$. **Однородность.** Покажем, что $f^*(\lambda y) = \lambda f^*(y)$ для любого $y \in W$ и любого скаляра $\lambda \in F$. Рассмотрим скалярное произведение $(x, f^*(\lambda y))$ для произвольного $x \in V$. По определению $f^*$ и свойствам скалярного произведения: $$ (x, f^*(\lambda y)) = (f(x), \lambda y) = \bar{\lambda}(f(x), y) $$ Снова по определению $f^*$: $$\bar{\lambda}(f(x), y) = \bar{\lambda}(x, f^*(y)) $$ Используя свойство скалярного произведения: $$\bar{\lambda}(x, f^*(y)) = (x, \lambda f^*(y)) $$ Таким образом, $(x, f^*(\lambda y)) = (x, \lambda f^*(y))$. Поскольку это верно для любого $x \in V$, то $f^*(\lambda y) = \lambda f^*(y)$. Так как $f^*$ удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности, $f^*$ является линейным отображением. $\square$